从一个题带入：

比较详细的：

 

简单总结和补充：

条件

凸函数，限制

方法：

二分斜率，找切点横纵坐标，判断k的位置

找切点坐标：

集体-mid*x（证明还是凸函数：f(x+2)-f(x+1)<=f(x+1)-f(x)）仍然成立)

每次选择物品有额外代价，

找此时高点就是原凸包切点

 

为了避免凸包上多点共线并且线的横坐标区域包含k，从而使得不会二分到k，

我们ans不记录符合条件切点的纵坐标，而是记录下来符合切点坐标（大于等于/小于等于）k的（最大/最小）斜率。（因题而异）

最后把斜率带进去求出纵坐标，然后向上平移ans*k即可

进阶：

k是一个区间[l,r]也可以做

法一：求出最高点选择的最大值最小值，根据斜率再调整

法二：求出l位置的切点斜率k1,r位置的切点斜率k2,如果k1,k2异号，k=0的切点就是最优位置，否则，绝对值更小的k的l或者r就是最优解位置

 

感悟

利用凸函数上二分，再转化为求“任意选择”全局最优解，使得摆脱了k的限制，使得DP维数降低，O(n^2)-O(nlogn)